Một số bài toán về số tự nhiên (P3)

Dạng 3: Thành lập số và tính tổng.
Bài 1: Cho 4 chữ số 0, 3, 8 và 9.
a) Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho.
b) Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho.
c) Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho.

Giải:
a) Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau :
- có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện đề bài (vì số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn).
- Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là 3 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn)
- Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là 2 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm).
- Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (đó là chữ số còn lại khác hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục).
Vậy các số viết được là :
3 x 3 x 2 x 1 = 18 (số)
b) Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là chữ số lớn nhất (Trong 4 chữ số đã cho). Vậy chữ số hàng nghìn của số phải tìm bằng 9.
Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trăm bằng 8.
Chữ số hàng chục là chữ số lớn trong 2 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là 3.
Số phải tìm là 9830.
Tương tự phần trên ta nhận được số bé nhất thoả mãn điều kiện của đề bài là 3089.
c) Số lẻ lớn nhất thoả mãn điều kiện của đề bài phải có chữ số hàng nghìn là số lớn nhất trong 4 chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn của số phải tìm bằng 9.
Số phải tìm có chữ số hàng nghìn bằng 9 và là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị phải bằng 3.
Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong hai chữ số còn lại, nên chữ số hàng trăm phải bằng 8.
Vậy số phải tìm là 9830.
Tương tự số chẵn nhỏ nhất là 3098.

Bài 2: Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tien để được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 15 chữ số của số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại đẻe được :
a) Số lớn nhất.
b) Số nhỏ nhất.
Viết các số đó.
Giải:
a) Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
Để sau khi xoá 15 chữ số ta nhận được số lớn nhất thì chữ số giữ lại đầu tiên kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy trước hết ta xoá 4 chữ số đầu tiên của dãy 1, 3, 5, 7. Số còn lại là:
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
Ta phải xoá tiếp 15 – 4 = 11 chữ số còn lại để được số lớn nhất. Để sau khi xoá nhận được số lớn nhất thì chữ số thứ hai kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy tiếp theo ta phải xoá tiếp những chữ số viết giữa hai chữ số 9 trong dãy, đó là 11 13 15 17 1. Số còn lại là:
992 123 252 729.
Ta phải xoá tiếp 11 – 9 = 2 chữ số từ số còn lại để được số lớn nhất. Chữ số thứ ba còn lại kể từ bên trái phải là 2, vậy để được số lớn nhất sau khi xoá 2 chữ số ta phải xoá số 12 hoặc 21. Vậy số lớn nhất phải là
9 923 252 729.
b) Lập luận tương tự câu a. số phải tìm là 1 111 111 122

Bài 3: Cho 3 chữ số 2, 3 và 5. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số có đủ 3 chữ số đã cho. Hỏi :
a) Lập được mấy số như thế
b) Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng mấy lần?
c) Tính tổng các số.
Giải:
a) Ta lập được 6 số sau
235 325 523
253 352 532
b) Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng 2 lần.
c) Tổng các số đó là :
(2 + 3 + 5) x 2 x 100 + (2 + 3 + 5) x 2 x 10 + (2 + 3 + 5) x 1
= 10 x 2 x (100 + 10 + 1)
= 10 x 2 x 111
= 2220

Bài 4: Cho 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà ở mỗi số có đủ 4 chữ số đẫ cho. Tính tổng các số đó.
Giải :
Chọn chữ số 1 ở hàng nghìn ta lập được 6 số sau :
1234 1324 1423
1243 1342 1432
Ta thấy mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng 6 lần. Vậy tổng các số lập được :
(1 + 2 + 3 + 4) x 1000 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 100 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 10 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 1 x 6
= 10 x 6 x (1000 + 100 + 10 + 1)
= 60 x 1111
= 66660.

Bài 5: Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hãy lập tất cả các số có 5 chữ số mà ở mỗi số có đủ 5 chữ số đã cho. Tính tổng
Giải:
Chọn chữ số 1 ở hàng chục nghìn ta lập được 24 số
Tương tự nên ta lập được
24 x 5 = 120 (số)
Tổng là:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 10000 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 1000 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 100 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 10 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x x 1 x 24
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 24 x 11111
= 15 x 24 x 11111
= 3999960

Bài 6: Cho 3 chữ số 3, 3, 4. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số có đủ 3 chữ số đã cho mà mỗi chữ số trên chỉ viết 1 lần. Tính tổng các số đó.
Giải :
Ta lập được 3 số 334, 343, 433
Tổng các số :
(3 + 3 + 4) x 100 x 1 + (3 + 3 + 4) x 10 + (3 + 3 + 4) x 1
= 10 x (10 + 10 + 1)
= 10 x 111
= 1110.

Bài 7: Cho 4 chữ số : 2, 2, 5, 1.
Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho. Tính tổng
Giải:
- Chọn chữ số 1 ở hàng nghìn ta lập được các số :
1225 1522
1252
- Chọn chữ số 5 ở hàng nghìn ta cũng lập được 3 số.
- Chọn chữ số 2 ở hàng nghìn ta lập được 6 số
2152 2251 2512
2125 2215 2521
Vậy ta lập được 12 số.
Tổng là :
(1 + 2 + 2 + 5) x 1000 x 3 + (1 + 2 + 2 + 5) x 100 x 3 + (1+ 2 + 2 + 5) x 1 x 3
= (1 + 2 + 2 + 5) x 3 x 1111
= 10 x 3 x 1111
= 33330

Bài 8: Cho 3 chữ số 0, 3, 7. Hãy lập tất cảc các số có 3 chữ số sao cho mỗi số có đủ 3 chữ số đã cho. Tính tổng các số vừa lập
Giải :
Ta lập được 4 số
703, 370
730, 307
Tổng
(3 + 7) x 100 x 2 + (3 + 7) x 10 + (3 + 7) x 1
= 10 x 100 x 2 + 10 x 10 + 10 x 1
= 20 x 100 + 100 + 10
= 2110.

* Bài tập tham khảo:
Bài 1: Cho 4 chữ số : 0, 2, 3, 5. Hãy lập tất cả các số mà mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho. Tính tổng.
Bài 2: Cho 4 chữ số : 1, 3, 3, 4. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà mỗi số có đủ 4 chữ số đã cho. Tính tổng.
Bài 3: Cho 5 chữ số : 0, 1, 3, 2, 4. Hãy lập tất cả các số có 5 chữ số mà mỗi số có đủ 5 chữ số đã cho. Tính tổng.
Bài 4: Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4.
a) Có thể viết đượcbao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho? Trong các số viết được có bao nhiêu số chẵn?
b) Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 5 chữ số đã cho
Bài 5: Có thể viết được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau, biết rằng :
a) Các chữ số của chúng đều là những số lẻ?
b) Các chữ số của chúng đều là những số chẵn?
Bài 6:
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số được viết tữ 3 chữ số khác nhau.
b) Tìm số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số được viết từ 3 chữ số khác nhau.
Bài 7: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 15 để được 1 số tự nhiên. Hãy xoá đi 10 chữ số vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để được:
a) Số lớn nhất;
b) Số nhỏ nhất;
Viết các số đó.
Bài 8: Viết liên tiếp 10 số chẵn khác 0 đầu tiên để được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 10 chữ số của số vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để được:
a) Số chẵn lớn nhất;
b) Số lẻ nhỏ nhất.