Một số bài toán về số tự nhiên (P1)

Dạng 1: Sử dụng cấu tạo thập phân của số .
Ở dạng này ta thường gặp các loại toán sau:

Loại 1: Viết thêm 1 hay nhiều chữ số vào bên phải, bên trái hoặc xen giữa một số tự nhiên.

Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số lớn gấp 13 lần số đã cho.
Giải:
Gọi số phải tìm là ab. Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta dược số 9ab. Theo bài ra ta có:
9ab = ab x 13
900 + ab = ab x 13
900 = ab x 13 – ab
900 = ab x (13 – 1)
900 = ab x 12
ab = 900 : 12
ab = 75
Bài 2: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1112 đơn vị.
Giải:
Gọi số phải tìm là abc. Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta dược số abc5.
Theo bài ra ta có:
abc5 = abc + 1112
10 x abc + 5 = abc + 1112
10 x abc = abc + 1112 – 5
10 x abc = abc + 1107
10 x abc – abc = 1107
(10 – 1) x abc = 1107
9 x abc = 1107
abc = 123
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng nếu viết chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó ta được số lớn gấp 10 lần số đã cho, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được thì số đó lại tăng lên 3 lần.
Giải:
Gọi số phải tìm là ab. Viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số a0b. Theo bài ra ta có:
ab x 10 = a0b
Vậy b = 0 và số phải tìm có dạng a00. Viết thêm chữ số 1 vào bên trái số a00 ta được số 1a00. Theo bài ra ta có:
1a00 = 3 x a00
Giải ra ta được a = 5. Số phải tìm là 50

Loại 2: Xoá bớt một chữ số của một số tự nhiên

Bài 1: Cho số có 4 chữ số . Nếu ta xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. Tìm số đó.
Giải:
Gọi số phải tìm là abcd. Xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số ab.
Theo đề bài ta có
abcd – ab = 4455
100 x ab + cd – ab = 4455
cd + 100 x ab – ab = 4455
cd + 99 x ab = 4455
cd = 99 x (45 – ab)
Ta nhận xét tích của 99 với 1 số tự nhiên là 1 số tự nhiên nhỏ hơn 100. Cho nên 45 – ab phải bằng 0 hoặc 1.
- Nếu 45 – ab = 0 thì ab = 45 và cd = 0.
- Nếu 45 – ab = 1 thì ab = 44 và cd = 99.
Số phải tìm là 4500 hoặc 4499.

Loại 3: Số tự nhiên và tổng, hiệu, tích các chữ số của nó

Bài 1: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó.
Giải:
Cách 1:
Gọi số phải tìm là ab. Theo bài ra ta có
ab = 5 x (a + b)
10 x a + b = 5 x a + 5 x b
10 x a – 5 x a = 5 x b – b
(10 – 5) x a = (5 – 1) x b
5 x a = 4 x b
Từ đây suy ra b chia hết cho 5. Vậy b bằng 0 hoặc 5.
+ Nếu b = 0 thì a = 0 (loại)
+ Nếu b = 5 thì 5 x a = 20, vậy a = 4.
Số phải tìm là 45.
Cách 2:
Theo bài ra ta có
ab = 5 x ( a + b)
Vì 5 x (a + b) có tận cùng bằng 0 hoăc 5 nên b bằng 0 hoặc 5.
+ Nếu b = 0 thay vào ta có:
a5 = 5 x (a + 5)
10 x a + 5 = 5 x a + 25
Tính ra ta được a = 4.
Thử lại: 45 : (4 + 5) = 5. Vậy số phải tìm là 45.

Bài 2: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số chia cho hiệu các chữ số của nó được thương là 28 và dư 1.
Giải :
Gọi số phải tìm là ab và hiệu các chữ số của nó bằng c.
Theo bài ra ta có:
ab = c x 28 + 1, vậy c bằng 1, 2 hoặc 3.
+ Nếu c = 1 thì ab = 29.
Thử lại: 9 – 2 = 7 1 (loại)
+ Nếu c = 2 thì ab = 57.
Thử lại: 7 – 5 = 2 ; 57 : 2 = 28 (dư 1)
+ Nếu c= 3 thì ab = 58.
Thử lại: 8 – 5 = 3 ; 85 : 3 = 28 (dư 1)
Vậy số phải tìm là 85 và 57.

Bài 3: Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó.
Giải :
Cách 1:
Gọi số phải tìm là abc. Theo bài ra ta có
abc = 5 x a x b x c.
Vì a x 5 x b x c chia hết cho 5 nên abc chia hết cho 5. Vậy c = 0 hoặc 5, nhưng c không thể bằng 0, vậy c = 5. Số phải tìm có dạng ab5. Thay vào ta có.
100 x a + 10 x b + 5 = 25 x a x b.
20 x a + 2 x b +1 = 5 x a x b.
Vì a x 5 x b chia hết cho 5 nên 2 x b + 1 chia hết cho 5. Vậy 2 x b có tận cùng bằng 4 hoặc 9, nhưng 2 x b là số chẵn nên b = 2 hoặc 7.
- Trường hợp b = 2 ta có a25 = 5 x a x 2. Vế trái là số lẻ mà vế phải là số chẵn. Vậy trường hợp b = 2 bị loại.
- Trường hợp b = 7 ta có 20 x a + 15 = 35 x a. Tính ra ta được a = 1.
Thử lại:
175 = 5 x 7 x 5.
Vậy số phải tìm là 175.
Cách 2:
Tương tự cách 1 ta có:
ab5 = 25 x a x b
Vậy ab5 chia hết cho 25, suy ra b = 2 hoặc 7. Mặt khác, ab5 là số lẻ cho nên a, b phải là số lẻ suy ra b = 7. Tiếp theo tương tự cách 1 ta tìm được a = 1. Số phải tìm là 175.

Loại 4: So sánh tổng hoặc điền dấu

Bài 1: Cho A = abc + ab + 1997
B = 1ab9 + 9ac + 9b
So sánh A và B
Giải:
Ta thấy: B = 1009 + ab0 + 900 + ac + 90 + b
= 1999 + ab0 + a0 + c + b
= 1999 + abc + ab
. . . a > B
Bài 2: So sánh tổng A và B.
A = abc +de + 1992
B = 19bc + d1 + a9e
Giải :
Ta thấy: B = 1900 + bc + d0 + 1 + a00 + e + 90
= abc + de + 1991
Từ đó ta suy ra A > B.
Bài 3: Điền dấu
1a26 + 4b4 +5bc  abc + 1997
abc + m000  m0bc + a00
x5 + 5x  xx +56